Descriptif
Ce cours introduit les notions essentielles de mathématiques pour la représentation des signaux en physique. Il fournit les bases mathématiques nécessaires à de nombreux autres cours de l’école (optique physique, électronique, traitement du signal et des images, asservissements, TP d’optique, mécanique quantique…).
Il existe deux grandes classes de modèles de signaux : les signaux déterministes (certains) et les signaux aléatoires. Ce cours des donc structuré en deux grandes parties traitant de chacun de ces thèmes. Dans la partie « signaux déterministes », l’accent est mis sur les notions qui doivent être maîtrisées par tout ingénieur : transformée de Fourier, convolution et corrélation, distributions, échantillonnage… La partie « signaux aléatoires » introduit les outils de base nécessaire à l’ingénieur et au physicien pour représenter et traiter les signaux non déterministes. Elle est consacrée aux notions de probabilités et variables aléatoires. Les fonctions aléatoires et des éléments d'analyse spectrale et bruits feront l'objet de quelques heures dans le cadre du cours de traitement du signal.
Ce cours est accompagné d’un grand nombre de séances de travaux dirigés sur table mais aussi sur ordinateur, car l’assimilation des notions enseignées est grandement facilitée par la réalisation de simulations informatiques simples.
Objectifs pédagogiques
Pour la partie Variables Aléatoires, à l'issue de ce cours, les étudiants seront capables de :
- Donner les propriétés élémentaires d'une probabilité,
- Définir une probabilité conditionnelle et la notion d'indépendance,
- Calculer la probabilité d'un évènement clairement défini,
- Donner les propriétés d'une variable aléatoire, d'un couple de VA ou d'une suite de VA,
- Calculer les moments statistiques d'une VA,
- Calculer la loi, densité ou moments statistiques d'une fonction de VA, une suite de VA ou une somme de VA,
- Identifier les lois et VA usuelles.
- Cours magistral : 21
- Travaux dirigés : 12
- Travaux pratiques : 4
- Examen : 4
Diplôme(s) concerné(s)
UE de rattachement
- 5N-019-SCI : Traitement de l'Information
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Institut d'Optique Théorique et Appliquée - Master of Science in Engineering
Aucun
Format des notes
Numérique sur 20Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Institut d'Optique Théorique et Appliquée - Master of Science in Engineering
Vos modalités d'acquisition :
Partie Signaux Déterministes (50%) :
- Examen écrit de 2h - sans calculatrice - sans document,
- Rapport de TP.
Partie Variables Aléatoires (50%) :
- Examen écrit de 2h - sans calculatrice - sans document.
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée écrêtée à une note seuil de 12)
- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 5
Le coefficient de l'UE est : 20
Programme détaillé
Partie 1 : Signaux déterministes
Notions sur l’intégration de Lebesgue, espaces de fonctions, bases d’un espace de Hilbert
Transformation de Fourier des fonctions
Convolution et corrélation
Introduction à la théorie des distributions : propriétés de base, transformation de Fourier, convolution
Théorie de l’échantillonnage
La transformée de Fourier discrète, éléments d’analyse sepctrale
Introduction à l’analyse temps-fréquence
Partie 2 : Variables aléatoires
Espace probabilisé, probabilités.
Variable aléatoire, espérance mathématique, densités de probabilité, moyenne, variance, lois classiques.
Fonction d’une variable aléatoire.
Paire de variables aléatoires, indépendance, corrélations, somme de VA, vecteur aléatoire, loi d’addition des variances,
Lois asymptotiques, loi des grands nombres, théorème central limite.